题目内容

袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是
12

(I)求n的值;
(II)从袋子中不放回地随机抽取两个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.
①记事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率;
②在区间[0,2]内任取两个实数x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.
分析:(Ⅰ)利用从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是
1
2
,确定n的值.
(Ⅱ)①从袋子中不放回地随机抽取2个球,共有基本事件12个,其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个,故可求概率.②记“x2+y2>(a-b)2恒成立”为事件B,则事件B等价于“x2+y2>4恒成立,(x,y)可以看成平面中的点,确定全部结果所构成的区域,事件B构成的区域,利用几何概型可求得结论.
解答:解:(Ⅰ)根据从袋子随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是
1
2
可得
n
1+1+n
=
1
2

解得n=2.
(Ⅱ)①从袋子中不放回地随机抽取2个球,共有基本事件12个,其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个,则P(A)=
4
12
=
1
3

②记“x2+y2>(a-b)2恒成立”为事件B,则事件B等价于“x2+y2>4恒成立,(x,y)可以看成平面中的点,则全部结果所构成的区域为Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},
而事件B构成的区域B={(x,y)|x2+y2>4,(x,y)∈Ω},
所以P(B)=1-
π
4
点评:本题考查等可能事件的概率,考查几何概型,解题的关键是确定其测度.
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