Question

已知F₁、F₂是双曲线C：x2-

y2

15

=1的两个焦点，若离心率等于

4

5

的椭圆E与双曲线C的焦点相同．
（1）求椭圆E的方程；
（2）如果动点P（m，n）满足|PF₁|+|PF₂|=10，曲线M的方程为：

x2

2

+

y2

2

=1．判断直线l：mx+ny=1与曲线M的公共点的个数，并说明理由；当直线l与曲线M相交时，求直线l：mx+ny=1截曲线M所得弦长的最大值．

Answer 1

分析：（1）由双曲线的方程即可得出焦点坐标，即可得出椭圆的焦点坐标公式，利用椭圆的标准方程及其性质即可得出方程；
（2）由动点P（m，n）满足|PF₁|+|PF₂|=10，可知点P在椭圆E上，即可得出m与n的关系及其取值范围．因为曲线M是圆心为（0，0），半径为r=

2

的圆，利用点到直线的距离公式可得：圆心（0，0）到直线l：mx+ny-1=0的距离，即可得出直线l：mx+ny=1与曲线M公共点的个数．设直线l：mx+ny=1截曲线M所得弦长t，t=2

r2-d2

=2

2- 1 9+ 16 25 m2

利用在0≤m²≤25上单调性，即可得出t的最大值．

解答：解：（1）∵F₁、F₂是双曲线C：x2-

y2

15

=1的两个焦点，∴c=

1+15

=4
不妨设F₁（-4，0）、F₂（4，0）．
∵椭圆E与双曲线C的焦点相同．
∴设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵根据已知得

c=4 c a = 4 5 b2=a2-c2

，解得

c=4 a=5 b2=9

∴椭圆E的方程为

x2

25

+

y2

9

=1
（2）直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．
理由是：
∵动点P（m，n）满足|PF₁|+|PF₂|=10，∴P（m，n）是椭圆E上的点，
∴

m2

25

+

n2

9

=1，∴n2=9-

9

25

m2，0≤m²≤25
∵曲线M是圆心为（0，0），半径为r=

2

的圆
圆心（0，0）到直线l：mx+ny-1=0的距离d=

1

m2+n2

=

1

9+ 16 25 m2

≤

1

9+0

=

1

3

＜

2

∴直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．
设直线l：mx+ny=1截曲线M所得弦长t，t=2

r2-d2

=2

2- 1 9+ 16 25 m2

在0≤m²≤25上递增
∴当m²=25，m=±5，n=0，即l：x=±

1

5

时，t最大为

14

5

．

点评：熟练掌握圆锥曲线的定义及其性质、直线与圆锥曲线的位置关系、点到直线的距离公式、弦长公式、函数的单调性等是解题的关键．