Question

函数f（x）=1-

m

x2

（m≠0）
（1）判断函数f（x）的奇偶性．
（2）用定义判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析：（1）函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），再利用f(-x)=1-

m

(-x)2

=1-

m

x2

=f(x)，可判断函数f（x）为偶函数；
（2）设x₁＞x₂＞0，则f(x1)-f(x2)=1- 

m

(x1)2

-1+

m

(x2)2

=m×

(x1+x2)(x1-x2)

(x1x2)2

，对m进行讨论，可知m＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0；m＜0，f（x₁）-f（x₂）＜0，从而可得m＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调增；m＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调减．

解答：解：（1）函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
∵f(-x)=1-

m

(-x)2

=1-

m

x2

=f(x)
∴函数f（x）为偶函数；
（2）设x₁＞x₂＞0，则f(x1)-f(x2)=1- 

m

(x1)2

-1+

m

(x2)2

=m×

(x1+x2)(x1-x2)

(x1x2)2

∵x₁＞x₂＞0，∴x1+x2＞0，x1-x2＞0，(x1x2)2＞0
∴m＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0；m＜0，f（x₁）-f（x₂）＜0
∴m＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调增；m＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调减．

点评：本题以函数为载体，考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，掌握定义是关键．