Question

已知向量

m

=（-2sin（π-x），cosx），

n

=（

3

cosx，2sin（

π

2

-x）），函数f（x）=1-

m

•

n

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）的周期及单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）直接利用向量的数量积，通过二倍角公式与两角差的正弦函数，化简函数我一个角的一个三角函数的形式，即可求函数f（x）的解析式；
（2）利用正弦函数的单调增区间，构造关于相位角的不等式，解不等式可求出函数的单调增区间到．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=

3

2sin（π-x）

3

cosx+2cosxsin（

π

2

-x）
=-2

3

sinxcosx+2cos2x=-

3

sin2x+cos2x+1      2分
∴f（x）=1-

m

•

n

=

3

sin2x-cos2x，…（3分）
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）．…（4分）
（2）由（1）知f（x）的周期为π由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ （k∈Z），
解得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ （k∈Z）…（6分）
∴f（x）的单调递增区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）…（12分）

点评：本题借助向量的数量积的化简，求解函数的解析式，考查三角函数的基本性质，函数的图象的变换．