Question

【题目】已知函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R.

(1)试判断f(x)的奇偶性；

(2)若a＝0时，求f(x)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）当a＝0时，f(x)为偶函数，当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．（2）1

【解析】试题分析：（1）先确定定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)关系，最后根据奇偶性定义确定奇偶性；（2）先研究x≥0时，函数最小值，再根据偶函数性质求最值

试题解析：解：(1)当a＝0时，f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1＝f(x)．

当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，

此时f(a)≠f(－a)，f(a)≠－f(a)．

∴当a＝0时，f(x)为偶函数，当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．

(2)当a＝0时，f(x)＝x2＋|x|＋1为偶函数，

∴x≥0时，f(x)＝x2＋x＋1，

x＝0时，f(x)min＝1，

∴f(x)min＝1.

点睛: 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．

在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．