Question

如图，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，D是AC中点，BC=

2

AA1．
（I）证明AB₁∥平面DBC₁
（II）求异面直线AB₁与BC₁所成的角
（III）求以BC₁为棱，DBC₁与CBC₁为面的二面角的度数．

Answer 1

分析：（I）要证明线面平行，需要在面上找一条和已知直线平行的直线，根据四边形B₁BCC₁是矩形．连接B₁C交BC₁于E，则B₁E=EC．连接DE，在△AB₁C中，AD=DC，得到DE∥AB₁，这样题目得证．
（II）以DB为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，构造两个向量的方向向量，方向向量所成的角的余弦值的绝对值就是要求的角的余弦值，本题比较特殊是一个直角．
（III）要求两个平面所成的角，需要先写出两个平面的法向量，其中这两个平面有一个法向量是已知的，另一个需要设出来，再根据法向量与平面上的向量数量积等于0，写出一个法向量，根据向量所成的角得到结果．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，
∴四边形B₁BCC₁是矩形．
连接B₁C交BC₁于E，则B₁E=EC．
连接DE，在△AB₁C中，∵AD=DC，∴DE∥AB₁，
又AB₁?平面DBC₁，DE?平面DBC₁，
∴AB₁∥平面DBC₁．      
（Ⅱ）设D₁是A₁C₁的中点，则DD₁⊥平面ABC．
所以，以DB为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴（如图）建立空间直角坐标系．
设AB=2，则B(

3

，0，0)，C（0，1，0），A（0，-1，0），B1(

3

，0，

2

)，C1(0，1，

2

)．
∴

AB1

=(

3

，1，

2

)，

BC1

=(-

3

，1，

2

)，
∵

AB1

•

BC1

=-3+1+2=0，∴

AB1

⊥

BC1

，
即，AB₁与BC₁所成的角为90°．                           
（Ⅲ）∵BC的中点F(

3

2

，

1

2

，0)，
∴

AF

=(

3

2

，

3

2

，0)，
∴可取平面CBC₁的法向量为

n

1=(-

3

，-3，0)．
设平面BC₁D的法向量为

n

2=(x，y，z)，
则

n 2⊥ DB n 2⊥ DC1

?

3 x=0 y+ 2 z=0

∴可取

n

2=(0，-

2

，1)．
∵cos?

n

1，

n

2＞=

n 1• n 2

| n 1|•| n 2|

=

3 2

12 • 3

=

2

2

，
∴面DBC₁与面CBC₁所成的二面角为45°．

点评：本题考查利用空间向量求解两个平面之间的夹角和异面直线所成的角，本题解题的关键是建立坐标系，本题理论推导的问题转化成数字的运算问题，本题是一个中档题目．