Question

【题目】如图，在四棱锥中，侧棱底面，，，，，是棱中点.

（1）已知点在棱上，且平面平面，试确定点的位置并说明理由；

（2）设点是线段上的动点，当点在何处时，直线与平面所成角最大？并求最大角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）为中点，理由见解析；（2）当点在线段靠近的三等分点时，直线与平面所成角最大，最大角的正弦值.

【解析】

(1)为中点,可利用中位线与平行四边形性质证明，，从而证明平面平面；

（2）以A为原点，分别以，，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出当点在线段靠近的三等分点时，直线与平面所成角最大，并可求出最大角的正弦值.

（1）为中点，证明如下：

分别为中点，

又平面平面

平面

又，且四边形为平行四边形，

同理，平面，又

平面平面

（2）以A为原点，分别以，，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系

则，

设直线与平面所成角为，则

取平面的法向量为则

令，则

所以

当时，等号成立

即当点在线段靠近的三等分点时，直线与平面所成角最大，最大角的正弦值.