题目内容
16．数列{an}中，an＞0，a1=5，n≥2时，an+an-1=$\frac{7}{{a}_{n}{-a}_{n-1}}+6$．求数列{an}的通项公式．分析 通过对an+an-1=$\frac{7}{{a}_{n}{-a}_{n-1}}+6$变形、整理可知an（an-6）-an-1（an-1-6）=7（n≥2），进而可知数列{an（an-6）}是以-5为首项、以7为公差的等差数列，计算即得结论．
解答 解：∵an+an-1=$\frac{7}{{a}_{n}{-a}_{n-1}}+6$，
∴${{a}_{n}}^{2}$-${{a}_{n-1}}^{2}$=7+6an-6an-1，
整理得：an（an-6）-an-1（an-1-6）=7（n≥2），
又∵a1（a1-6）=-5，
∴数列{an（an-6）}是以-5为首项、以7为公差的等差数列，
∴an（an-6）=-5+7（n-1）=7n-12，
即${{a}_{n}}^{2}$-6an，-7n+12=0，
解得：an=$\frac{6+\sqrt{36-4（-7n+12）}}{2}$=3+$\sqrt{7n-3}$，
或an=3-$\sqrt{7n-3}$（舍），
∴数列{an}的通项公式an=3+$\sqrt{7n-3}$．
点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
练习册系列答案
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