题目内容
设平面内的向量
=(1，7)，
=(5，1)，
=(2，1)，点P是直线OM上的一个动点，且
•
=-8，求
的坐标及∠APB的余弦值．
| OA |
| OB |
| OM |
| PA |
| PB |
| OP |
分析：由题意，可设
=(x，y)，再由点P在直线OM上，得到
与
共线，由此共线条件得到x，y之间的关系，代入
•
=-8，解出x，y的值，即可求出
的坐标及
=（-3，5），
=（1，-1），再由夹角的向量表示公式cos∠APB=
求出∠APB的余弦值
| OP |
| OP |
| OM |
| PA |
| PB |
| OP |
| PA |
| PB |
| ||||
|
|
解答：解：（1）由题意，可设
=(x，y)，∵点P在直线OM上，
∴
与
共线，而
=(2，1)，
∴x-2y=0，即x=2y，有
=（2y，y），
∵
=
-
=（1-2y，7-y），
=
-
=（5-2y，1-y），
∴
•
=（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y），即
•
=5y2-20y+12，
又
•
=-8，
∴5y2-20y+12=-8，解得y=2，x=4
此时
=（4，2），
=（-3，5），
=（1，-1），
∴cos∠APB=
=
=-
| OP |
∴
| OP |
| OM |
| OM |
∴x-2y=0，即x=2y，有
| OP |
∵
| PA |
| OA |
| OP |
| PB |
| OB |
| OP |
∴
| PA |
| PB |
| PA |
| PB |
又
| PA |
| PB |
∴5y2-20y+12=-8，解得y=2，x=4
此时
| OP |
| PA |
| PB |
∴cos∠APB=
| ||||
|
|
| -8 | ||||
|
4
| ||
| 17 |
点评：本题考查了向量共线的条件，向量的坐标运算，数量积的坐标表示，向量的模的求法及利用数量积计算夹角的余弦，本题综合性强，运算量大，谨慎计算是正确解题的关键
练习册系列答案
名师点拨卷系列答案
相关题目