Question

附加题：
设A、B是抛物线C：y²=2px（P＞0）上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且α+β为定值θ（0＜θ＜π）时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．
（注：实验班必做，普通班选做）

Answer 1

分析：把OA的方程y=tanα•x，代入抛物线C：y²=2px，求得A的坐标，同理求得B的坐标，用两点式求得AB的方程，利用
α+β为定值θ 化简为 y=

1

tanα+tanβ

（x+2p）-

1

tanθ

 x，可得过定点（-2p，

2p

tanθ

 ）．

解答：解：OA的方程为 y=tanα•x，代入抛物线C：y²=2px，解得A（

2p

tan2α

，

2p

tanα

 ），同理求得B（

2p

tan2β

，

2p

tanβ

），
用两点式求得AB的方程为

y- 2p tanα

2p tanβ - 2p tanα

=

x- 2p tan2α

2p tan2β - 2p tan2α

，化简可得 y=

tanα•tanβ

tanα + tanβ

x+

2p

tanα + tanβ

，
∵α+β为定值θ，∴tanθ=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

，∴tanα•tanβ=

tanθ- (tanα+tanβ)

tanθ

，
故直线AB的方程为  y=

1

tanα+tanβ

x+

2p

tanaα+ tnβ

-

1

tanθ

 x=

1

tanα+tanβ

（x+2p）-

1

tanθ

 x．
故x=-2p 时，y=

2p

tanθ

，故 直线AB过定点（-2p，

2p

tanθ

 ）．

点评：本题考查直线和圆的位置关系，直线过定点问题，化简直线AB的方程为 y=

1

tanα+tanβ

（x+2p）-

1

tanθ

 x，
是解题的关键和难点．