题目内容

附加题:
设A、B是抛物线C:y2=2px(P>0)上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,当α,β变化且α+β为定值θ(0<θ<π)时,证明直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标.
(注:实验班必做,普通班选做)

解:OA的方程为 y=tanα•x,代入抛物线C:y2=2px,解得A( ),同理求得B(),
用两点式求得AB的方程为 =,化简可得 y=x+
∵α+β为定值θ,∴tanθ=,∴tanα•tanβ=
故直线AB的方程为 y=x+- x=(x+2p)- x.
故x=-2p 时,y=,故 直线AB过定点(-2p, ).
分析:把OA的方程y=tanα•x,代入抛物线C:y2=2px,求得A的坐标,同理求得B的坐标,用两点式求得AB的方程,利用
α+β为定值θ 化简为 y=(x+2p)- x,可得过定点(-2p, ).
点评:本题考查直线和圆的位置关系,直线过定点问题,化简直线AB的方程为 y=(x+2p)- x,
是解题的关键和难点.
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