题目内容
附加题:
设A、B是抛物线C:y2=2px(P>0)上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,当α,β变化且α+β为定值θ(0<θ<π)时,证明直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标.
(注:实验班必做,普通班选做)
解:OA的方程为 y=tanα•x,代入抛物线C:y2=2px,解得A(
,
),同理求得B(
,
),
用两点式求得AB的方程为
=
,化简可得 y=
x+
,
∵α+β为定值θ,∴tanθ=
,∴tanα•tanβ=
,
故直线AB的方程为 y=
x+
-
x=
(x+2p)-
x.
故x=-2p 时,y=
,故 直线AB过定点(-2p,
).
分析:把OA的方程y=tanα•x,代入抛物线C:y2=2px,求得A的坐标,同理求得B的坐标,用两点式求得AB的方程,利用
α+β为定值θ 化简为 y=
(x+2p)-
x,可得过定点(-2p,
).
点评:本题考查直线和圆的位置关系,直线过定点问题,化简直线AB的方程为 y=
(x+2p)-
x,
是解题的关键和难点.




用两点式求得AB的方程为




∵α+β为定值θ,∴tanθ=


故直线AB的方程为 y=





故x=-2p 时,y=


分析:把OA的方程y=tanα•x,代入抛物线C:y2=2px,求得A的坐标,同理求得B的坐标,用两点式求得AB的方程,利用
α+β为定值θ 化简为 y=



点评:本题考查直线和圆的位置关系,直线过定点问题,化简直线AB的方程为 y=


是解题的关键和难点.

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