题目内容
附加题:
设A、B是抛物线C:y2=2px(P>0)上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,当α,β变化且α+β为定值θ(0<θ<π)时,证明直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标.
(注:实验班必做,普通班选做)
设A、B是抛物线C:y2=2px(P>0)上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,当α,β变化且α+β为定值θ(0<θ<π)时,证明直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标.
(注:实验班必做,普通班选做)
OA的方程为 y=tanα•x,代入抛物线C:y2=2px,解得A(
,
),同理求得B(
,
),
用两点式求得AB的方程为
=
,化简可得 y=
x+
,
∵α+β为定值θ,∴tanθ=
,∴tanα•tanβ=
,
故直线AB的方程为 y=
x+
-
x=
(x+2p)-
x.
故x=-2p 时,y=
,故 直线AB过定点(-2p,
).
2p |
tan2α |
2p |
tanα |
2p |
tan2β |
2p |
tanβ |
用两点式求得AB的方程为
y-
| ||||
|
x-
| ||||
|
tanα•tanβ |
tanα + tanβ |
2p |
tanα + tanβ |
∵α+β为定值θ,∴tanθ=
tanα+tanβ |
1-tanα•tanβ |
tanθ- (tanα+tanβ) |
tanθ |
故直线AB的方程为 y=
1 |
tanα+tanβ |
2p |
tanaα+ tnβ |
1 |
tanθ |
1 |
tanα+tanβ |
1 |
tanθ |
故x=-2p 时,y=
2p |
tanθ |
2p |
tanθ |

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