题目内容

20.已知不等式$\frac{ax-2}{x+1}$>0(a∈R)
(1)解关于x的不等式;
(2)若x=-a时不等式成立,求a的范围.

分析 (1)分三种情况考虑:当a=0时,把a=0代入原不等式,根据两数相除,异号得负的取符号法则可得x+1小于0,即可求出此时x的范围;当a大于0时,根据两数相除的取符号法则得到ax-2与x+1同号,转化为两个不等式组,求出两不等式组解集的并集得到原不等式的解集;当a小于0时,在不等式两边同时除以-1,不等号方向改变,转化为两个不等式组,分两种情况:-2<a<0和a<-2,根据$\frac{2}{a}$与-1的大小,写出不等式组的解集,进而得到原不等式的解集;
(2)把x=a代入原不等式,得到关于a的不等式,根据两数相除,同号得正的取符号法则,由a2+2恒大于0,得到a-1也大于0,求出a的范围即可.

解答 解:(1)当a=0时,原不等式化为$\frac{2}{x+1}$<0,解得x<-1;
当a>0,原不等式可化为:
$\left\{\begin{array}{l}{ax-2>0}\\{x+1>0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ax-2<0}\\{x+1<0}\end{array}\right.$,
解得x>$\frac{2}{a}$或x<-1;
当a<0时,原不等式变形得:$\frac{-ax+2}{x+1}$<0,
可化为 $\left\{\begin{array}{l}{-ax+2>0}\\{x+1<0}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{-ax+2<0}\\{x+1>0}\end{array}\right.$,
若$\frac{2}{a}$<-1,即-2<a<0时,解得:$\frac{2}{a}$<x<-1,
若$\frac{2}{a}$>-1,即a<-2时,解得:-1<x<$\frac{2}{a}$,
则原不等式的解集为:当a=0时,解集为(-∞,-1);
当a>0时,解集为(-∞,-1)∪($\frac{2}{a}$,+∞);
当-2<a<0时,解集为($\frac{2}{a}$,-1);
当a=-2时,解集为空集;
当a<-2时,解集为(-1,$\frac{2}{a}$);
(2)把x=-a代入原不等式得:$\frac{{-a}^{2}-2}{-a+1}$>0,
即 $\frac{{a}^{2}+2}{a-1}$>0,
∵a2+2>0,∴a-1>0,
解得a>1,
则a的取值范围是a>1.

点评 此题考查了其他不等式的解法,利用了转化及分类讨论的数学思想,是高考中常考的题型.

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