题目内容
18.如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=PA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC.(Ⅰ)求证:OD∥平面PAB;
(Ⅱ)求直线OD与平面PBC所成角的大小.
(18)本题主要考查空间线面关系,空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力。
解:方法一:
(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC的中点。
∴OD∥PA.
又PA平面PAB。
∴OD∥平面PAB。
(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC
∴OA=OB=OC,
又∵OP⊥平面ABC。
∴PA=PB=PC。
取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE。
作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC,
∴∠ODF是OD与平PBC所成的角。
在Rt△ODF中,
sin∠ODF=,
∴OD与平面PBC所成的角为arcsin.
方法二:
∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,
∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP。
以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间直角坐标系O-xyz(如图)。
设AB=a,则A(a,0,0)B(0, a,0),C(-a,0,0).
设OP=h,则P(0,0,h)
(Ⅰ)∵D为PC的中点,
∴=(-a,0,h),
又=(a,0,-h),
∴ =-
∴∥
∴OD∥平面PAB。
(Ⅱ)∵PA=2a,
∴h=a,
∴=(-a,0, a),
可求得平面PBC的法向量=(-1,1,),
设OD与平面PBC所成的角为θ
∴OD与平面PBC所成的角为arcsin.
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