Question

在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量

m

=（2sinB，

3

），

n

=（cos2B，cosB），且

m

，

n

向量共线．
（1）求角B的大小；
（2）如果b=1，求△ABC的面积S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据共线向量的坐标满足的关系得到一个关系式，利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，即可求出tan2B的值，然后由锐角B的范围求出2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由b，cosB的值，利用余弦定理及基本不等式即可求出ac的最大值，根据三角形的面积公式进而得到三角形ABC面积的最大值．

解答：解：（1）由

m

，

n

向量共线得到：2sinBcosB=

3

cos2B，即tan2B=

3

，
由B∈（0，

π

2

）得到：2B∈（0，π），
所以2B=

π

3

，即B=

π

6

；
（2）由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
即1=a²+c²-

3

ac≥2ac-

3

ac，当且仅当a=c时取等号，
所以ac≤

1

2- 3

=2+

3

，
则S_△ABC=

1

2

acsinB≤

2+ 3

4

，即S_△ABC的最大值为

2+ 3

4

．

点评：此题考查学生掌握向量关系时满足的条件，灵活运用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．