Question

已知关于x的实系数一元二次方程ax²+bx+c=0有两个虚根x₁，x₂，且(1-3ai)i=c-

a

i

（i为虚数单位），|x₁-x₂|=1，求实数b的值、

Answer 1

分析：化简(1-3ai)i=c-

a

i

，利用复数相等，求出a，c，代入一元二次方程ax²+bx+c=0，求出两个虚根x₁，x₂，代入|x₁-x₂|=1，求出b的值．

解答：解：由题设(1-3ai)i=c-

a

i

，即：-（1-3ai）=ci-a，得

1=a 3a=c

解得a=1，c=3，
代入方程x²+bx+3=0，求出两虚根为x1=

-b+ 12-b2 i

2

，x1=

-b- 12-b2 i

2

，
于是|x1-x2|=|

-b+ 12-b2 i

2

-

-b- 12-b2 i

2

|=

12-b2

，
由

12-b2

=1，得b=

11

或b=-

11

．

点评：本题考查复数的基本概念，一元二次方程的根的分布与系数的关系，复数代数形式的乘除运算，复数求模，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．