题目内容
已知椭圆
的左、右焦点分别是
、
,离心率为
,椭圆上的动点
到直线
的最小距离为2,延长
至
使得
,线段
上存在异于
的点
满足
.

(1) 求椭圆的方程;
(2) 求点
的轨迹
的方程;
(3) 求证:过直线
上任意一点必可以作两条直线
与
的轨迹
相切,并且过两切点的直线经过定点.














(1) 求椭圆的方程;
(2) 求点


(3) 求证:过直线

与


(1)
;(2)
;(3)直线经过定点(1,0).


本试题主要考查了圆与直线,以及椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系的综合运用。
解:(1)依题意得
, ………………………………………………2分
解得
,∴
……………………………………………………………3分
椭圆的方程为
…………………………………………………………………4分
(2)解法1:设点T的坐标为(x,y).
当
重合时,点
坐标为
和点
, …………………………………5分
当
不重合时,由
,得
. ……………………………6分
由
及椭圆的定义,
, …………7分
所以
为线段
的垂直平分线,T为线段
的中点
在
中,
, …………………………………………8分
所以有
.
综上所述,点
的轨迹C的方程是
. …………………………………9分
(3) 直线
与
相离,
过直线上任意一点
可作圆
的两条切线
…………10分
所以
所以O,E,M,F四点都在以OM为直径的圆上, …………………………11分
其方程
④ …………………………12分
EF为两圆的公共弦,③-④得:EF的方程为4X+ty -4=0 ………13分
显然无论t为何值,直线ef经过定点(1,0). ………………14分
解:(1)依题意得

解得


椭圆的方程为

(2)解法1:设点T的坐标为(x,y).
当




当



由


所以



在


所以有

综上所述,点


(3) 直线


过直线上任意一点



所以

所以O,E,M,F四点都在以OM为直径的圆上, …………………………11分
其方程

EF为两圆的公共弦,③-④得:EF的方程为4X+ty -4=0 ………13分
显然无论t为何值,直线ef经过定点(1,0). ………………14分

练习册系列答案
相关题目