题目内容

已知椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,椭圆上的动点到直线的最小距离为2,延长使得,线段上存在异于的点满足.

(1)  求椭圆的方程;
(2)  求点的轨迹的方程;
(3)  求证:过直线上任意一点必可以作两条直线
的轨迹相切,并且过两切点的直线经过定点.
(1);(2);(3)直线经过定点(1,0).
本试题主要考查了圆与直线,以及椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系的综合运用。
解:(1)依题意得,   ………………………………………………2分
解得,∴ ……………………………………………………………3分
椭圆的方程为  …………………………………………………………………4分
(2)解法1:设点T的坐标为(x,y).
重合时,点坐标为和点,    …………………………………5分
不重合时,由,得. ……………………………6分
及椭圆的定义,, …………7分
所以为线段的垂直平分线,T为线段的中点
中,, …………………………………………8分
所以有.
综上所述,点的轨迹C的方程是.   …………………………………9分
(3)  直线相离,
过直线上任意一点可作圆的两条切线   …………10分
所以
所以O,E,M,F四点都在以OM为直径的圆上,  …………………………11分
其方程④      …………………………12分
EF为两圆的公共弦,③-④得:EF的方程为4X+ty -4=0      ………13分
显然无论t为何值,直线ef经过定点(1,0).          ………………14分
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