Question

圆心在直线y=x上的圆M经过点（2，0），且在x轴上截得的弦长为4，则圆M的标准方程为______（只要求写出一个即可）．

Answer 1

由于圆心在y=x上，所以可设圆的方程为（x-a）²+（y-a）²=r²，将y=0代入得：x²-2ax+2a²=r²
∴x₁+x₂=a，x₁•x₂=2a²-r²，
∴弦长=|x₁-x₂ |=

(x1+x2) 2-4x1x2

=4，
代入可得：7a²-4r²+16=0   ①
再将点（2，0）代入方程（x-a）²+（y-a）²=r²，
得2a²-2a+4-r²=0…②，
联立①②即可解出a=0、r=2，或a=8，r²=116
于是方程为：x²+y²=4或（x-8）²+（y-8）²=116．
故答案为：x²+y²=4或（x-8）²+（y-8）²=116．