Question

已知圆M的圆心在直线y=x上，且与直线2x+y-2=0相切于点P（1，0），
（1）求圆M的标准方程；
（2）若圆M与圆N：（x-2m）²+（y-n）²=n²+1交于A，B两点，且这两点平分圆M的圆周，求圆N的半径的最小值及此时圆N的方程．

Answer 1

分析：（1）由圆M的圆心在直线y=x上，设出圆心C的坐标为（a，a），由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出MP的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可；
（2）欲求半径最小时圆N的方程，由于圆N半径r=

n2+1

，只须求出n的取值范围即可．

解答：解：（1）因为圆M的圆心在直线y=x上，则可设圆心为C（a，a）．
由于圆M与直线2x+y-2=0相切于点P（1，0），
则点C到直线2x+y-2=0的距离d=MP，即

|2a+a-2|

22+12

=

(a-1)2+a2

，
则a²+2a+1=0，
解得a=-1．
所以圆心为C（-1，-1），半径r=d=

5

，
则所求圆的方程是（x+1）²+（y+1）²=5．
（2）由于圆N：（x-2m）²+（y-n）²=n²+1，
则圆N的圆心N（2m，n），半径r=

n2+1

，
由平面几何知识，得：|AN|²=|AM|²+|MN|²，
所以n²+1=5+（2m+1）²+（n+1）²，
即n=-2m2-2m-3=-2(m+

1

2

)2-

5

2

≤-

5

2

，
当n=-

5

2

时，r的最小值为

29

2

，m=-

1

2

此时此时圆N的方程为：(x+1)2+(y+

5

2

)2=

29

4

．

点评：本小题主要考查圆与圆的位置关系、曲线与方程、函数最值等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．