题目内容
函数f(x)=
+2
．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）＜m有解，求实数m的范围．
| x2-2x+1 |
| 4-4x+x2 |
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）＜m有解，求实数m的范围．
分析：（Ⅰ）函数f(x)=
+2
=|x-1|+2|x-2|=
，再分段确定函数的取值范围．进而可得f（x）的值域；
（Ⅱ）要使关于x的不等式f（x）＜m有解，则f（x）min＜m，由（Ⅰ）知f（x）min=1，故可求实数m的范围．
| x2-2x+1 |
| 4-4x+x2 |
|
（Ⅱ）要使关于x的不等式f（x）＜m有解，则f（x）min＜m，由（Ⅰ）知f（x）min=1，故可求实数m的范围．
解答：解：（Ⅰ）函数f(x)=
+2
=|x-1|+2|x-2|=
当x≤1时，-3x+5≥2；当1＜x＜2时，-x+3∈（1，2）；当x≥2时，3x-5≥1；
∴f（x）的值域是[1，+∞）
（Ⅱ）要使关于x的不等式f（x）＜m有解，则f（x）min＜m
由（Ⅰ）知f（x）min=1，∴m＞1
∴实数m的范围为（1，+∞）．
| x2-2x+1 |
| 4-4x+x2 |
|
当x≤1时，-3x+5≥2；当1＜x＜2时，-x+3∈（1，2）；当x≥2时，3x-5≥1；
∴f（x）的值域是[1，+∞）
（Ⅱ）要使关于x的不等式f（x）＜m有解，则f（x）min＜m
由（Ⅰ）知f（x）min=1，∴m＞1
∴实数m的范围为（1，+∞）．
点评：本题是选考题，考查不等式内容，将函数转化为分段函数，再确定原来函数的值域是关键，对于关于x的不等式f（x）＜m有解，转化为f（x）min＜m求解．
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