题目内容

设二次函数g(x)的图象在点(m,g(m))的切线方程为y=h(x),若f(x)=g(x)-h(x)
则下面说法正确的有:
 

①存在相异的实数x1,x2使f(x1)=f(x2)成立;
②f(x)在x=m处取得极小值;
③f(x)在x=m处取得极大值;
④不等式|f(x)|<
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的解集非空;
⑤直线 x=m一定为函数f(x)图象的对称轴.
分析:设g(x)=ax2+bx+c,(a≠0)然后求出在点(m,g(m))的切线方程为y=h(x),从而得到f(x)的解析式,根据二次函数的性质可得结论.
解答:解:设g(x)=ax2+bx+c,(a≠0)则g(x)′=2ax+b,
∴g(m)′=2am+b则在点(m,g(m))的切线方程为 h(x)-g(m)=(2am+b)(x-m)即 h(x)=(2am+b)x-am2+c,
∴f(x)=ax2+bx+c-(2am+b)x+am2-c=ax2-2amx+am2=a(x-m)2
∴f(x)是二次函数,关于x=m对称,故⑤正确;
当x1,x2关于x=m对称时,f(x1)=f(x2)成立,故①正确;
当a<0时,在x=m处取得极大值,故②不正确;
当a>0时,在x=m处取得极小值,故③不正确;
x=m时f(x)=0,满足|f(x)|<
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,故④正确;
故答案为:①④⑤.
点评:本题主要考查了二次函数的极值,以及二次函数的性质,利用导数研究在曲线某点处的切线方程,同时考查了分析问题的能力,属于中档题.
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