题目内容
7、已知函数f（x）=x3-3x2+a，若f（x+1）是奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线方程是（ ）
分析：利用奇函数的定义得到恒成立的等式，求出a，利用导数在切点处的值为曲线斜率求出直线方程．
解答：解：∵f（x）=x3-3x2+a
∴f（x+1）=（x+1）3-3（x+1）2+a=x3-3x-2+a
∵f（x+1）是奇函数
∴f（-x+1）=-f（x+1）
∴-x3+3x-2+a=-x3+3x+2-a
∴-2+a=2-a解得a=2
∴f（x）=x3-3x2+a=x3-3x2+2
∴f′（x）=3x2-6x
曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线斜率为k=f′（0）=0
曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=2
故选C．
∴f（x+1）=（x+1）3-3（x+1）2+a=x3-3x-2+a
∵f（x+1）是奇函数
∴f（-x+1）=-f（x+1）
∴-x3+3x-2+a=-x3+3x+2-a
∴-2+a=2-a解得a=2
∴f（x）=x3-3x2+a=x3-3x2+2
∴f′（x）=3x2-6x
曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线斜率为k=f′（0）=0
曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=2
故选C．
点评：本题考查奇函数的定义、导数的几何意义、直线的方程．
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