Question

如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求多面体A-CDEF的体积；
（3）求证：CE⊥AF．

Answer 1

分析：（1）由多面体AEDBFC的三视图知，侧面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形，由三角形中位线的性质得：MN∥EC，从而证得MN∥平面CDEF．
（2）先证四边形CDEF是矩形，利用面面垂直的性质证明并求出棱锥的高，代入体积公式计算棱锥的体积．
（3）由BC⊥平面ABEF，证明BC⊥AF，面ABFE是正方形，证得EB⊥AF，进而AF⊥面BCE，结论得证．

解答：证明：（1）：由多面体AEDBFC的三视图知，
三棱柱AED-BFC中，底面DAE是等腰直
角三角形，DA=AE=2，DA⊥平面ABEF，
侧面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形．
连接EB，则M是EB的中点，
在△EBC中，MN∥EC，
且EC?平面CDEF，MN?平面CDEF，
∴MN∥平面CDEF．
（2）因为DA⊥平面ABEF，EF?平面ABEF，∴EF⊥AD，
又EF⊥AE，所以，EF⊥平面ADE，
∴四边形CDEF是矩形，
且侧面CDEF⊥平面DAE
取DE的中点H，∵DA⊥AE，DA=AE=2，∴AH=

2

，
且AH⊥平面CDEF．
所以多面体A-CDEF的体积V=

1

3

SCDEF•AH=

1

3

DE•EF•AH=

8

3

．
（3）∵DA⊥平面ABEF，DA∥BC，
∴BC⊥平面ABEF，
∴BC⊥AF，
∵面ABFE是正方形，
∴EB⊥AF，
∴AF⊥面BCE，
∴CE⊥AF．

点评：本题考查线面平行、垂直的判定和性质，利用三视图求面积和体积．