题目内容
(2010•汕头模拟)如图,多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示,M,N分别为AF,BC的中点.
(1)求证:MN∥平面CDEF;
(2)求多面体A-CDEF的体积.
(1)求证:MN∥平面CDEF;
(2)求多面体A-CDEF的体积.
分析:(1)通过三视图说明几何体的特征,证明MN平行平面CDEF内的直线BC,即可证明MN∥平面CDEF;
(2)说明四边形 CDEF是矩形,AH⊥平面CDEF,然后就是求多面体A-CDEF的体积.
(2)说明四边形 CDEF是矩形,AH⊥平面CDEF,然后就是求多面体A-CDEF的体积.
解答:解:(1)证明:由多面体AEDBFC的三视图知,三棱柱AED-BFC中,底面DAE是等腰
直角三角形,DA=AE=2,DA⊥平面ABEF,侧面ABFE,ABCD都是边长为2的正方形.
连接EB,则M是EB的中点,
在△EBC中,MN∥EC,
且EC?平面CDEF,MN?平面CDEF,
∴MN∥平面CDEF.
(2)因为DA⊥平面ABEF,EF?平面ABEF,∴EF⊥AD,
又EF⊥AE,所以,EF⊥平面ADE,
∴四边形 CDEF是矩形,
且侧面CDEF⊥平面DAE
取DE的中点H,∵DA⊥AE,DA=AE=2,∴AH=
,
且AH⊥平面CDEF.
所以多面体A-CDEF的体积V=
SCDEF•AH=
DE•EF•AH=
.
直角三角形,DA=AE=2,DA⊥平面ABEF,侧面ABFE,ABCD都是边长为2的正方形.
连接EB,则M是EB的中点,
在△EBC中,MN∥EC,
且EC?平面CDEF,MN?平面CDEF,
∴MN∥平面CDEF.
(2)因为DA⊥平面ABEF,EF?平面ABEF,∴EF⊥AD,
又EF⊥AE,所以,EF⊥平面ADE,
∴四边形 CDEF是矩形,
且侧面CDEF⊥平面DAE
取DE的中点H,∵DA⊥AE,DA=AE=2,∴AH=
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且AH⊥平面CDEF.
所以多面体A-CDEF的体积V=
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点评:本题是中档题,考查直线与平面平行的证明方法,几何体的体积的求法,考查计算能力.
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