题目内容
如图,多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示,M,N分别为AF,BC的中点.
(1)求证:MN∥平面CDEF;
(2)求证:CE⊥AF;
(3)求多面体A-CDEF的体积.
(1)求证:MN∥平面CDEF;
(2)求证:CE⊥AF;
(3)求多面体A-CDEF的体积.
分析:(1)由题意,可得直三棱柱AED-BFC中,底面△DAE是等腰直角三角形,DA=AE=2且DA⊥平面ABEF,侧面ABFE、ABCD都是边长为2的正方形.连接EB,可得MN是△BEC的中位线,可得MN∥EC,利用线面平行判定定理可证出MN∥平面CDEF;
(2)由正方形的性质证出EB⊥AF,利用线面垂直的定义与性质证出BC⊥AF,从而得到AF⊥平面BCE,结合CE?平面BCE可得CE⊥AF;
(3)等腰Rt△ADE中作出斜边DE上高AH,可得AH的长.利用面面垂直的性质定理证出AH⊥平面CDEF,得AH是A-CDEF的高,根据四棱锥的体积公式加以计算,即可得出多面体A-CDEF的体积.
(2)由正方形的性质证出EB⊥AF,利用线面垂直的定义与性质证出BC⊥AF,从而得到AF⊥平面BCE,结合CE?平面BCE可得CE⊥AF;
(3)等腰Rt△ADE中作出斜边DE上高AH,可得AH的长.利用面面垂直的性质定理证出AH⊥平面CDEF,得AH是A-CDEF的高,根据四棱锥的体积公式加以计算,即可得出多面体A-CDEF的体积.
解答:解:由多面体AEDBFC的直观图及三视图,可得
三棱柱AED-BFC中,底面DAE是等腰直角三角形,DA=AE=2,
且DA⊥平面ABEF,侧面ABFE,ABCD都是边长为2的正方形.
(1)连接EB,则点M为BE、AF的交点
∴M是EB的中点,N是BC的中点,∴△EBC中,MN∥EC,
∵EC?平面CDEF,MN?平面CDEF,
∴MN∥平面CDEF…(4分)
(2)∵DA⊥平面ABEF,DA∥BC,∴BC⊥平面ABEF,
∵AF?平面ABEF,∴BC⊥AF,
∵四边形ABFE是正方形,∴EB⊥AF,
∵BE、BC是平面BCE内的相交直线,
∴AF⊥平面BCE,结合CE?平面BCE,得CE⊥AF. …(8分)
(3)∵DA⊥平面ABEF,EF?平面ABEF,∴EF⊥AD,
又∵EF⊥AE,AD∩AE=A,∴EF⊥平面ADE,
取DE的中点H,连结AH,Rt△ADE中,
由DA=AE=2得AH⊥DE且AH=
,
∵侧面CDEF⊥平面DAE,侧面CDEF∩平面DAE=DE
∴AH⊥平面CDEF
因此,多面体A-CDEF的体积为
V=
SCDEF•AH=
DE•EF•AH=
. …(12分)
三棱柱AED-BFC中,底面DAE是等腰直角三角形,DA=AE=2,
且DA⊥平面ABEF,侧面ABFE,ABCD都是边长为2的正方形.
(1)连接EB,则点M为BE、AF的交点
∴M是EB的中点,N是BC的中点,∴△EBC中,MN∥EC,
∵EC?平面CDEF,MN?平面CDEF,
∴MN∥平面CDEF…(4分)
(2)∵DA⊥平面ABEF,DA∥BC,∴BC⊥平面ABEF,
∵AF?平面ABEF,∴BC⊥AF,
∵四边形ABFE是正方形,∴EB⊥AF,
∵BE、BC是平面BCE内的相交直线,
∴AF⊥平面BCE,结合CE?平面BCE,得CE⊥AF. …(8分)
(3)∵DA⊥平面ABEF,EF?平面ABEF,∴EF⊥AD,
又∵EF⊥AE,AD∩AE=A,∴EF⊥平面ADE,
取DE的中点H,连结AH,Rt△ADE中,
由DA=AE=2得AH⊥DE且AH=
2 |
∵侧面CDEF⊥平面DAE,侧面CDEF∩平面DAE=DE
∴AH⊥平面CDEF
因此,多面体A-CDEF的体积为
V=
1 |
3 |
1 |
3 |
8 |
3 |
点评:本题给出三棱柱的三视图,求证三棱柱中的线面平行、线线垂直并求四棱锥的体积,着重考查了线面垂直的判定与性质、线面平行判定定理和锥体体积求法等知识,属于中档题.
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