题目内容

15．如图，在四面体ABCD中，平面BAD⊥平面CAD，∠BAD=90°．M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点．
（1）求证：CD∥平面MNQ；
（2）求证：平面MNQ⊥平面CAD．

分析 （1）通过三角形中位线定理推知MQ∥CD来证得结论；
（2）欲证明平面MNQ⊥平面CAD，只需“利用三角形中位线定理和平行线的性质推知MN⊥平面ACD”证得平面MNQ⊥平面CAD．

解答 证明：（1）因为M，Q分别为棱AD，AC的中点，
所以MQ∥CD，
又CD?平面MNQ，MQ?平面MNQ，
故CD∥平面MNQ．                                            
（2）因为M，N分别为棱AD，BD的中点，所以MN∥AB，
又∠BAD=90°，
所以AB⊥AD，
故MN⊥AD．                                  
因为平面BAD⊥平面CAD，平面BAD∩平面CAD=AD，且MN?平面ABD，
所以MN⊥平面ACD．                                           
又MN?平面MNQ，
平面MNQ⊥平面CAD．

点评 本题考查了线面平行（垂直）的判定定理和性质定理的运用，体现了转化的思想．

练习册系列答案
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20．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-2x+3．
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6．如图，在四棱锥A-DCBE中，AC⊥BC，底面DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC．
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20．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，设P为椭圆上一点，∠F1PF2的外角平分线所在的直线为l，过F1，F2分别作l的垂线，垂足分别为R，S，当P在椭圆上运动时，R，S所形成的图形的面积为πa2．
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4．设n∈R，函数fn（x）=xn|x-a|（x≠a），其中a≥0
（1）求函数f2（x）的极值；
（2）设一直线与函数f3（x）的图象切于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2＜a．x12+x22=1，求a的值
（3）当a=0时，数列ak=f0（k），k∈N+．对任意给定的正整数n（n≥2），数列{bn}满足$\frac{{b}_{k+1}}{{b}_{k}}=\frac{k-n}{{a}_{k+1}}$（k=1，2，…，n-1），b1=1，求b1+b2+…+bn．
14．设函数f（x）的定义域为D，若存在正实数k，使得对于任意x∈D，有（x+k）∈D，且f（x+k）≥f（x），则称f（x）是D上的“k级增函数”．
（1）试判断函数f（x）=sinx是否为R上的“k级增函数”？请说明理由；
（2）试证明：对任意的实数k∈（0，4），函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，（x≥0）}\\{{-x}^{2}-2x，（x＜0）}\end{array}\right.$不是R上的“k级增函数”；
（3）已知奇函数g（x）是R上的“4级增函数”，且当x≥0时，g（x）=|x-a2|-a2，求实数a的取值范围．

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