题目内容
已知抛物线y2=4x与直线y=2x+b相交于A，B两点，|AB|=3
．
（1）求b的值；
（2）设P 是x轴上的一点，当△PAB的面积为39时，求点P的坐标．
| 5 |
（1）求b的值；
（2）设P 是x轴上的一点，当△PAB的面积为39时，求点P的坐标．
分析：（1）直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，可求|AB|，即可得到结论；
（2）求出P到AB的距离，利用△PAB的面积为39，建立方程，即可求点P的坐标．
（2）求出P到AB的距离，利用△PAB的面积为39，建立方程，即可求点P的坐标．
解答：解：（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由抛物线y2=4x与直线y=2x+b，可得4x2+4（b-1）x+b2=0，
△=16（b-1）2-16b2＞0，∴b＜
．
又由韦达定理有x1+x2=1-b，x1x2=
，
∴|AB|=
•
=
，
即
=3
，∴b=-4．
（2）设x轴上点P（x，0），P到AB的距离为d，则
d=
=
，
∴S△PBC=
•3
•
=39，
∴|2x-4|=26，
∴x=15或x=-11，
∴P（15，0）或（-11，0）．
由抛物线y2=4x与直线y=2x+b，可得4x2+4（b-1）x+b2=0，
△=16（b-1）2-16b2＞0，∴b＜
| 1 |
| 2 |
又由韦达定理有x1+x2=1-b，x1x2=
| b2 |
| 4 |
∴|AB|=
| 1+4 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
| 5(1-2b) |
即
| 5(1-2b) |
| 5 |
（2）设x轴上点P（x，0），P到AB的距离为d，则
d=
| |2x-0-4| | ||
|
| |2x-4| | ||
|
∴S△PBC=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| |2x-4| | ||
|
∴|2x-4|=26，
∴x=15或x=-11，
∴P（15，0）或（-11，0）．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，考查三角形面积，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线y2=4x，焦点为F，顶点为O，点P（m，n）在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点．