题目内容

如图，在△ABC中，设 $数学公式$ ， $数学公式$ ，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．
（Ⅰ）若 $数学公式$ ，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM，求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比 $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）∵在△ABC中，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．

$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，消去 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，
可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ +μ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）以AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM，
∵得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
分析：（Ⅰ）已知AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，消去 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即可求解；
（Ⅱ）AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM其面积和三角形ABC的面积可以用公式s= $\text{[math]}$ ，这个公式进行求解，再根据（Ⅰ）的结论很容易进行求解；
点评：此题主要考查向量中点的应用以及三角形面积公式的应用，本题涉及三角形中位线定理，以及向量中点的巧妙应用，是一道好题；