题目内容
【题目】已知数列的奇数项是首项为
的等差数列,偶数项是首项为
的等比数列.数列
前
项和为
,且满足
,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求正整数
的值;
(3)是否存在正整数,使得
恰好为数列
中的一项?若存在,求出所有满足条件的
值,若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)存在,
或
.
【解析】
(1)设数列的奇数项构成的等差数列的公差为
,偶数项构成的等比数列的公比为
,由题意列式求出公差和公比,则等差数列和等比数列的通项公式即可得出;,进而可求得数列
的通项公式;
(2)分和
,利用
即可求出满足该等式的正整数
的值;
(3)求出和
,假设存在正整数
,使得
恰好为数列
中的一项,设
,变形得到
,由此式得到
的可能取值,然后依次分类讨论求解.
(1)设数列的奇数项构成的等差数列的公差为
,偶数项构成的等比数列的公比为
,
则,
,
,
,
,
,
,即
,
又,即
,
所以,,解得
,
对于
,有
,
.
故;
(2)若,则由
,得
,得
,得
,
;
若,由
,得
,
此时左边为偶数,右边为奇数,不成立.
故满足条件的整数;
(3)对于,有
.
.
假设存在正整数,使得
恰好为数列
中的一项,
又由(1)知,数列中的每一项都为整数,故可设
,
则,变形得到
①,
,
,
,
.
又,故
可能取
、
、
.
当时,
,
,①不成立;
当时,则
.
若,
.
令,则
.
,则
,则
.
因此,,
故只有,此时
,
.
当时,
,
,
.
综上,存在正整数,使得
恰好为数列
中的第三项;
存在正整数,使得
恰好为数列
中的第二项.

【题目】光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能,近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下,某地光伏发电装机量急剧上涨,如下表:
年份 | 2011年 | 2012年 | 2013年 | 2014年 | 2015年 | 2016年 | 2017年 | 2018年 |
年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
新增光伏装机量 | 0.4 | 0.8 | 1.6 | 3.1 | 6.1 | 7.1 | 9.7 | 12.2 |
某位同学分别用两种模型:①,②
进行拟合,得到相应的回归方程并进行残差分析,残差图如下(注:残差等于
)
经过计算得,
,
,
,其中
,
.
(1)根据残差图,比较模型①,②的拟合效果,应该选择哪个模型?并简要说明理由.
(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立关于
的回归方程,并预测该地区2020年新增光伏装机量是多少.(在计算回归系数时精确到0.01)
附:归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,
.
【题目】国家“十三五”计划,提出创新兴国,实现中国创新,某市教育局为了提高学生的创新能力,把行动落到实处,举办一次物理、化学综合创新技能大赛,某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩(x)和化学成绩(y)进行回归分析,求得回归直线方程为=1.5x﹣35.由于某种原因,成绩表(如表所示)中缺失了乙的物理和化学成绩.
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
物理成绩(x) | 75 | m | 80 | 85 |
化学成绩(y) | 80 | n | 85 | 95 |
综合素质 (x+y) | 155 | 160 | 165 | 180 |
(1)请设法还原乙的物理成绩m和化学成绩n;
(2)在全市物理化学科技创新比赛中,由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛.共举行3场比赛,每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛,每场比赛所抽的选手中,只要有一名选手的综合素质分高于160分,就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章.若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ,试根据上表所提供数据,预测该校所获奖章数ξ的分布列与数学期望.