Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为F₁，F₂，且

F1P

•

F2P

=-6．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若M，N是直线x=5上的两个动点，且F₁M⊥F₂N，圆C是以MN为直径的圆，其面积为S，求S的最小值以及当S取最小值时圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）设左、右焦点分别为F₁，F₂的坐标分别为（-c，0），（c，0），代入

F1P

•

F2P

=-6求出c，再根据椭圆的定义求出2a，从而求得椭圆的方程；
（2）设出M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），根据F₁M⊥F₂N，得到mn=-9，要求以MN为直径的圆的面积最小，即求MN最小，利用基本不等式即可求得线段MN的最小值，从而求得S的最小值以及当S取最小值时圆C的方程．

解答：解：（1）设点F₁，F₂的坐标分别为（-c，0），（c，0）（c＞0），
则

F1P

=(3+c，1)，

F2P

=(3-c，1)，
故

F1P

•

F2P

=(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6，可得c=4，
所以2a=|PF1|+|PF2|=

(3+4)2+12

+

(3-4)2+12

=6

2

，
故a=3

2

，b2=a2-c2=18-16=2，
所以椭圆E的方程为

x2

18

+

y2

2

=1．　　　　　　
（2）设M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），
则

F1M

=(9，m)，

F2N

=(1，n)，又

F1M

⊥

F2N

，
可得

F1M

•

F2N

=9+mn=0，即mn=-9，
又|MN|=|m-n|=|m|+|n|≥2

|m|•|n|

=2

9

=6，（当且仅当|m|=|n|时取等号）
故Smin=π(

6

2

)2=9π，且当S取最小值时，
有m=3，n=-3或m=-3，n=3，
此时圆C的方程为（x-5）²+y²=9．

点评：此题是个中档题．考查椭圆的定义和标准方程的求法，以及圆与椭圆的综合等知识，同时考查了学生创造性分析解决问题的能力．