Question

有一块边长为4米的正方形钢板，现对其进行切割，焊接成一个长方体无盖容器（切、焊损耗忽略不计），有人用数学知识作了如下设计：在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成长方体．
（Ⅰ）求这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V₁．
（Ⅱ）请问：能重新设计，使所得长方体的容器的容积V₂＞V₁吗？若能、给出你的一种设计方案．

Answer 1

分析：（I）设出小正方形的边长为x，则长方体的长宽都为4-2x，体积等于长×宽×高，求出体积的导数，令其等于零得出最大容积．
（II）主要对题意理解清楚，说的是材料有所浪费，想到在两个角切去小正方形，去下的小正方形焊到对边上组成新的长方体体积比原来的大．

解答：解：（I）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4-2x，高为x，
∴V₁=（4-2x）²•x=4（x³-4x²+4x）（0＜x＜2）．
∴V₁′=4（3x²-8x+4）．
令V₁′=0，得x₁=

2

3

，x₂=2（舍去）．
而V₁′=12（x-

2

3

）（x-2），
又当x＜

2

3

时，V₁′＞0；当

2

3

＜x＜2时，V₁′＜0，
∴当x=

2

3

时，V₁取最大值

128

27

．
（II）重新设计方案如下：
如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；
如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；
如图③，将图②焊成长方体容器．
新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，
此长方体容积V₂=3×2×1=6，
显然V₂＞V₁．
故第二种方案符合要求．

点评：此题考查利用导数求闭区间的最值以及第二问是开放性问题，考查学生的实际操作能力．