题目内容
已知函数f（x）=
x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R）．
（1）若x=1为f（x）的极值点，求a的值．
（2）若y=f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值．
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（1）若x=1为f（x）的极值点，求a的值．
（2）若y=f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值．
（1）求导函数可得f′（x）=x2-2ax+a2-1
∵x=1是f（x）的极值点，∴f′（1）=0，∴a2-2a=0，∴a=0或2
（2）∵（1，f（1））在x+y-3=0上，∴f（1）=2
∵（1，2）在y=f（x）的图象上，∴2=
-a+a2-1+b
又∵f′（1）=-1，∴1-2a+a2-1=-1，∴a2-2a+1=0
∴a=1，b=
∴f(x)=
x3-x2+
∴f′（x）=x2-2x
∴由f′（x）=0，可知x=0和x=2是f（x）的极值点
∵f(0)=
，f(2)=
，f（-2）=-4，f（4）=8
∴f（x）在区间[-2，4]上的最大值为8
∵x=1是f（x）的极值点，∴f′（1）=0，∴a2-2a=0，∴a=0或2
（2）∵（1，f（1））在x+y-3=0上，∴f（1）=2
∵（1，2）在y=f（x）的图象上，∴2=
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又∵f′（1）=-1，∴1-2a+a2-1=-1，∴a2-2a+1=0
∴a=1，b=
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∴f(x)=
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∴f′（x）=x2-2x
∴由f′（x）=0，可知x=0和x=2是f（x）的极值点
∵f(0)=
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∴f（x）在区间[-2，4]上的最大值为8
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