题目内容
【题目】已知椭圆,抛物线
的焦点均在
轴上,
的中心和
的顶点均为原点
,从
,
上分别取两个点,将其坐标记录于下表中:
3 | -2 | 4 | ||
0 | -4 |
(1)求的标准方程;
(2)若直线与椭圆
交于不同的两点
,且线段
的垂直平分线过定点
,求实数
的取值范围.
【答案】(1) :
.
;(2)
.
【解析】试题分析:(1)先分析出点,
在抛物线上,点
,
在椭圆上,利用待定系数法可得到
的标准方程;(2)设
,
,将
代入椭圆方程,消去
得
,利用韦达定理以及中点坐标公式可得线段
的垂直平分线
的方程为
,由点
在直线
上,得
,结合判别式大于零可得实数
的取值范围.
试题解析::(1)设抛物线,则有
,据此验证4个点知
,
在抛物线上,易求
.
设,把点
,
代入得:
,解得
,所以
的方程为
.
(2)设,
,将
代入椭圆方程,消去
得
,
所以,即
.①
由根与系数关系得,则
,
所以线段的中点
的坐标为
.
又线段的垂直平分线
的方程为
,
由点在直线
上,得
,
即,所以
,
由①得,所以
,即
或
,
所以实数的取值范围是
.
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