Question

已知数列{a_n}前n项和S_n=n²+n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

1

anan+1

，求证：数列{b_n}的前n项和T_n＜

1

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）运用a_n=S_n-S_n-1，（n＞1）公式求解，注意n=1，（2）运用裂项法求解，放缩证明．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}前n项和S_n=n²+n，
∴当n=1时，a₁=2，
当n≥2时，a_n=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n
（2）由（1）知当数列{a_n}的通项公式：a_n=2n，
∵a_n+1-a_n=2，
∴b_n=

1

2

×（

1

an

-

1

an+1

），
∴T_n=

1

2

×[

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

]
=

1

2

×（

1

a1

-

1

an+1

）=

1

2

×（

1

2

-

1

2n+2

）=

1

4

-

1

4n+4

＜

1

4

，
∴T_n＜

1

4

，

点评：本题考查了运用前n项和公式求解通项，放缩法求解有关的数列的n项和，属于中档题．