Question

已知函数f（x）=（x+5）（x+2），g（x）=x+1．
（1）若x＞-1，求函数y=

f(x)

g(x)

的最小值；
（2）若不等式f（x）＞ag（x）在x∈[-2，2]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）y=

f(x)

g(x)

=

(x+5)(x+2)

x+1

，设x+1=t，由x＞-1，知t＞0，由此利用均值定理能求出y的最小值．
（2）f（x）＞ag（x），即x²+（7-a）x+10-a＞0，设h（x）=x²+（7-a）x+10-a，则不等式f（x）＞ag（x）在x∈[-2，2]上恒成立等价于h（x）在x∈[-2，2]上恒大于0．由此能求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=（x+5）（x+2），g（x）=x+1，
∴y=

f(x)

g(x)

=

(x+5)(x+2)

x+1

，
设x+1=t，∵x＞-1，∴t＞0
原式化为y=

(t-1)2+7(t-1)+10

t

=

t2+5t+4

t

=t+

4

t

+5≥2

t• 4 t

+5=9
当且仅当t=

4

t

，即t=2时取等号，
∴当x=1时y取最小值9． …（6分）
（2）f（x）＞ag（x），即x²+（7-a）x+10-a＞0，
设h（x）=x²+（7-a）x+10-a，
则不等式f（x）＞ag（x）在x∈[-2，2]上恒成立等价于h（x）在x∈[-2，2]上恒大于0．
等价于

a-7 2 ＜-2 h(-2)=a＞0

或

a-7 2 ＞2 h(2)=28-3a＞0

或

-2≤ a-7 2 ≤2 △=(7-a)2-4(10-a)＜0

解得0＜a＜9，
故a的取值范围为（0，9）．…（12分）

点评：本题考查函数的最小值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理、分类讨论思想、等价转化思想的合理运用．