Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=1，AA₁=AD=2．点E为AB中点．
（1）求三棱锥A₁-ADE的体积；
（2）求证：A₁D⊥平面ABC₁D₁；
（3）求证：BD₁∥平面A₁DE．

Answer 1

（1）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
因为AB=1，E为AB的中点，所以，AE=

1

2

，
又因为AD=2，所以S△ADE=

1

2

AD•AE=

1

2

×2×

1

2

=

1

2

，（2分）
又AA₁⊥底面ABCD，AA₁=2，
所以，三棱锥A₁-ADE的体积V=

1

3

S△ADE•AA1=

1

3

×

1

2

×2=

1

3

．（4分）
（2）因为AB⊥平面ADD₁A₁，A₁D?平面ADD₁A₁，
所以AB⊥A₁D．（6分）
因为ADD₁A₁为长方形，所以AD₁⊥A₁D，（7分）
又AD₁∩AB=A，所以A₁D⊥平面ABC₁D₁．（9分）
（3）设AD₁，A₁D的交点为O，连接OE，
因为ADD₁A₁为正方形，所以O是AD₁的中点，（10分）
在△AD₁B中，OE为中位线，所以OE∥BD₁，（11分）
又OE?平面A₁DE，BD₁?平面A₁DE，（13分）
所以BD₁∥平面A₁DE．（14分）