题目内容

如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点.
(1)求证:EF平面ABC1D1
(2)求证:EF⊥B1C;
(3)求三棱锥VB1-EFC的体积.
(1)证明:连接BD1,如图,在△DD1B中,E、F分别为D1D,DB的中点,则
EFD1B
D1B?平面ABC1D1
EF?平面ABC1D1
⇒EF
平面ABC1D1
(2)
B1C⊥AB
B1C⊥BC1
AB,B1C?平面ABC1D1
AB∩BC1=B
B1C⊥平面ABC1D1
BD1?平面ABC1D1
B1C⊥BD1
EFBD1
⇒EF⊥B1C

(3)∵CF⊥平面BDD1B1,∴CF⊥平面EFB1CF=BF=
2

EF=
1
2
BD1=
3
B1F=
BF2+BB12
=
(
2
)
2
+22
=
6

B1E=
B1D12+D1E2
=
12+(2
2
)
2
=3

∴EF2+B1F2=B1E2即∠EFB1=90°,
VB1-EFC=VC-B1EF=
1
3
SB1EF•CF

=
1
3
×
1
2
•EF•B1F•CF
=
1
3
×
1
2
×
3
×
6
×
2
=1
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