题目内容
如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点.
(1)求证:EF∥平面ABC1D1;
(2)求证:EF⊥B1C;
(3)求三棱锥VB1-EFC的体积.

(1)求证:EF∥平面ABC1D1;
(2)求证:EF⊥B1C;
(3)求三棱锥VB1-EFC的体积.

(1)证明:连接BD1,如图,在△DD1B中,E、F分别为D1D,DB的中点,则
⇒EF∥平面ABC1D1.
(2)
⇒
⇒
⇒EF⊥B1C
(3)∵CF⊥平面BDD1B1,∴CF⊥平面EFB1且CF=BF=
,
∵EF=
BD1=
,B1F=
=
=
,
B1E=
=
=3
∴EF2+B1F2=B1E2即∠EFB1=90°,
∴VB1-EFC=VC-B1EF=
•S△B1EF•CF
=
×
•EF•B1F•CF=
×
×
×
×
=1
|
(2)
|
|
|
(3)∵CF⊥平面BDD1B1,∴CF⊥平面EFB1且CF=BF=
2 |
∵EF=
1 |
2 |
3 |
BF2+BB12 |
(
|
6 |
B1E=
B1D12+D1E2 |
12+(2
|
∴EF2+B1F2=B1E2即∠EFB1=90°,
∴VB1-EFC=VC-B1EF=
1 |
3 |
=
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2 |
3 |
6 |
2 |

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