Question

10．对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；设函数f（x）的定义域为R⁺，且f（1）=3．
（Ⅰ）若（a，b）是f（x）的一个“P数对”，且f（2）=6，f（4）=9，求常数a，b的值；
（Ⅱ）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，求k的值及f（x）在区间[1，2ⁿ）（n∈N^*）上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（2）=6，f（4）=9，建立方程组，即可求常数a，b的值；
（Ⅱ）令x=1，则f（1）=k-1=3，解得k=4，当x∈[1，2）时f（x）=4-|2x-3|，得出f（x）在[1，2）上的取值范围是[3，4]．利用由已知，f（2x）=-2f（x）恒成立，将[1，2ⁿ）分解成[2^k-1，2^k），（k∈N*）的并集，求出f（x）在各段[2^k-1，2^k）上的取值范围，各段上最大值、最小值即为所求的最大值，最小值．

解答 解：（Ⅰ）若（a，b）是f（x）的一个“P数对”，且f（2）=6，f（4）=9，
则f（2）=af（1）+b，即6=3a+b  ①，
f（4）=af（2）+b，即9=6a+b，②，
解得a=1，b=3；
（Ⅱ）当x∈[1，2）时，f（x）=k-|2x-3|，
令x=1，可得f（1）=k-1=3，解得k=4，…10分
所以，x∈[1，2）时，f（x）=4-|2x-3|，
故f（x）在[1，2）上的取值范围是[3，4]．
又（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，故f（2x）=-2f（x）恒成立，
当x∈[2^k-1，2^k）（k∈N*）时，$\frac{x}{{{2^{k-1}}}}∈[1，2）$，$f（x）=-2f（\frac{x}{2}）=4f（\frac{x}{4}）$=…=${（-2）^{k-1}}f（\frac{x}{{{2^{k-1}}}}）$，…9分
故k为奇数时，f（x）在[2^k-1，2^k）上的取值范围是[3×2^k-1，2^k+1]；
当k为偶数时，f（x）在[2^k-1，2^k）上的取值范围是[-2^k+1，-3×2^k-1]． …11分
所以当n=1时，f（x）在[1，2ⁿ）上的最大值为4，最小值为3；
当n为不小于3的奇数时，f（x）在[1，2ⁿ）上的最大值为2ⁿ⁺¹，最小值为-2ⁿ；
当n为不小于2的偶数时，f（x）在[1，2ⁿ）上的最大值为2ⁿ，最小值为-2ⁿ⁺¹．…13分．

点评 本题考查利用新定义分析问题、解决问题的能力．考查转化计算，分类讨论、构造能力及推理论证能力，思维量大，属于难题．