题目内容

已知正项等差数列{an}的前20项和为100，则a5•a16的最大值是（　　）
A、100B、75C、25D、50
分析：设出等差数列的通项公式和前n项和公式分别为an=a+（n-1）d，sn=na+
n(n-1)d
2
，由前20项和为100得到2a+19d=10，而a5+a16=（a+4d）+（a+15d）=2a+19d=10，所以利用基本不等式a+b≥2
ab
当且仅当a=b时取等号，且a，b为正数，得到a5•a16的最大值即可．
解答：解：设等差数列首项为a，公差为d，则an=a+（n-1）d，sn=na+
n(n-1)d
2
，
因为前20项和为100得s20=20a+190d=100即2a+19d=10
所以a5+a16=（a+4d）+（a+15d）=2a+19d=10，
因为各项为正，所以a5+a16≥2
a5•a16
即a5•a16≤
(a5+a16) 2
4
=25
所以a5•a16的最大值为25
故选C
点评：本题考查等差数列的性质，这种题目的运算量比较小，是一个简单的综合题目，题目中涉及到的基本不等式平时用的比较多，这种结合希望引起同学们注意．
练习册系列答案
相关题目
已知正项等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7a14的最大值为（　　）
A、75B、100C、50D、25
已知非零向量
OA
、
OB
、
OC
、
OD
满足：
OA
=α
OB
+β
OC
+γ
OD
(α，β，γ∈R)，B、C、D为不共线三点，给出下列命题：
①若α=
3
2
，β=
1
2
，γ=-1，则A、B、C、D四点在同一平面上；
②当α＞0，β＞0，γ=
2
时，若|
OA
|=
3
，|
OB
|=|
OC
|=|
OD
|=1，＜
OB
，
OC
＞=
5π
6
，＜
OD
，
OB
＞=＜
OD
，
OC
＞=
π
2
，则α+β的最大值为
6
-
2
；
③已知正项等差数列an（n∈N*），若α=a2，β=a2009，γ=0，且A、B、C三点共线，但O点不在直线BC上，则
1
a3
+
4
a2008
的最小值为9；
④若α+β=1（αβ≠0），γ=0，则A、B、C三点共线且A分
BC
所成的比λ一定为
α
β
．
其中你认为正确的所有命题的序号是
 
．
已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，其中都是数列{an}中满足ah-ak=ak-am的任意项．
（I）证明：m+h=2k；
（II）证明：Sm•Sh≤Sk2；
（III）若
Sm
、
Sk
、
Sh
也在等差数列，且a1=a，求数列的前n项和．
（2011•成都一模）已知非零向量
OA
、
OB
、
OC
、
OD
满足：
OA
=α
OB
Z+β
OC
Z+γ
OD
Z（α，β，γ∈R），B、C、D为不共线三点，给出下列命题：
①若α=
3
2
，β=
1
2
，γ=-1，则A、B、C、D四点在同一平面上；
②若α=β=γ=1，|
OB
Z|+|
OC
|+|
OD
|=1，＜
OB
，
OD
＞=＜
OC
，
OD
＞=
π
2
，＜
OB
，
OC
＞=
π
3
，则|
OA
|=2；
③已知正项等差数列{an}（n∈N*Z），若α=a2，β=a2009，γ=0，且A、B、C三点共线，但O点不在直线BC上，则
1
a3
+
4
a2008
的最小值为10；
④若α=
4
3
，β=-
1
3
Z，γ=0，则A、B、C三点共线且A分
BC
所成的比λ一定为-4
其中你认为正确的所有命题的序号是
①②
①②
．

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