题目内容

已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,其中都是数列{an}中满足ah-ak=ak-am的任意项.
(I)证明:m+h=2k;
(II)证明:Sm•Sh≤Sk2
(III)若
Sm
Sk
Sh
也在等差数列,且a1=a,求数列的前n项和.
分析:(I)根据等差数列的通项公式,用公差d,首项a1 将ah,ak,am 表示出,化简整理寻求h,k,m的关系.
(II)根据等差数列{an}的前n项和公式,将Sm•Sh与 Sk2 求出,SmSh=
m(a1+am)
2
h(a1+ah)
2
=
mh
4
(a1+am)(a1+ah)
,Sk2=[
(a1+ak)k
2
]
2
利用基本不等式,结合已知,
mh
4
1
4
• (
m+h
2
)
2
,(a1+am)(a1+ah[
a1+am+a1+ah
2
]
2
=(a1+ak2合理的放缩转化,进行证明.
(III)只要求得公差d,则数列的前n项和可求.不妨取m,n,h的一组特殊值寻求突破.取m=1,k=2,h=3.
解答:解:(I)证明:设数列{an}的公差为d,由题意a1<0,d>0.
∵ah-ak=ak-am
∴(h-k)d=(k-m)d,
∴m+h=2k.
(II)证明:SmSh=
m(a1+am)
2
h(a1+ah)
2
=
mh
4
(a1+am)(a1+ah)
1
4
•[
m+h
2
]2[
a1+am+a1+ah
2
]2
=
1
4
(a1+ak)2k2=[
(a1+ak)k
2
]2=
S
2
k

∴Sm•Sh≤Sk2
(III)取m=1,k=2,h=3,显然a1,a2,a3满足a3-a2=a2-a1
Sm
Sk
Sh
也成等差数列,则
a1
+
3a1+3d
=2
2a1+d

两边平方得2
a1(3a1+3d)
=4a1+d

再两边平方整理得4a12-4a1d+d2=0,即(2a1-d)2=0,
∴d=2a1=2a.∴an=(2n-1)a,Sn=n2a,
点评:本题考查等差数列的性质、前n项公式及计算,放缩法证明不等式.要求有较强的分析解决问题的能力,具备特殊化法突破困难的意识.
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