题目内容
平面内动点到点的距离等于它到直线的距离,记点的轨迹为曲.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)若点,,是上的不同三点,且满足.证明: 不可能为直角三角形.
(1)
(2)利用向量的关系式来得到坐标关系式,然后借助于反证法来说明不成立。
解析试题分析:解法一:(Ⅰ)由条件可知,点到点的距离与到直线的距离相等, 所以点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,其方程为. 4分
(Ⅱ)假设是直角三角形,不失一般性,设,
,,,则由,
,,
所以. 6分
因为,,,
所以. 8分
又因为,所以,,
所以. ①
又,
所以,即. ② 10分
由①,②得,所以. ③
因为.
所以方程③无解,从而不可能是直角三角形. 12分
解法二:(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)设,,,由,
得,. 6分
由条件的对称性,欲证不是直角三角形,只需证明.
当轴时,,,从而,,
即点的坐标为.
由于点在上,所以,即,
此时,,,则. 8分
当与轴不垂直时,
设直线的方程为:,代入,
整理得:,则.
若,则直线的斜率为,同理可得:.
由,得,,.
由,可得
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