题目内容

平面内动点到点的距离等于它到直线的距离,记点的轨迹为曲
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)若点上的不同三点,且满足.证明: 不可能为直角三角形.

(1)
(2)利用向量的关系式来得到坐标关系式,然后借助于反证法来说明不成立。

解析试题分析:解法一:(Ⅰ)由条件可知,点到点的距离与到直线的距离相等, 所以点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,其方程为.   4分
(Ⅱ)假设是直角三角形,不失一般性,设
,则由

所以.          6分
因为
所以.           8分
又因为,所以
所以.  ①

所以,即. ②   10分
由①,②得,所以. ③
因为
所以方程③无解,从而不可能是直角三角形.       12分
解法二:(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)设,由
.           6分
由条件的对称性,欲证不是直角三角形,只需证明
轴时,,从而
即点的坐标为
由于点上,所以,即
此时,则.    8分
轴不垂直时,
设直线的方程为:,代入
整理得:,则
,则直线的斜率为,同理可得:
,得
,可得

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