Question

已知A，B，C三点的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosθ，sinθ），其中

π

2

＜θ＜

3π

2

，且|

AC

|=|

BC

|．
（Ⅰ）求角θ的值；
（Ⅱ）当0≤x≤

π

2

时，求函数f（x）=2sin（2x+θ）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出

AC

 和

BC

的坐标，由|

AC

|=|

BC

|，化简可得sinθ=cosθ，再由θ的范围求出θ的值．
（Ⅱ）根据x的范围求得2x+θ的范围，再由正弦函数的定义域和值域求出函数f（x）=2sin（2x+θ）的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）

AC

=（cosθ-3，sinθ），

BC

=（cosθ，sinθ-3）． …（2分）
∵|

AC

|=|

BC

|，
∴

(cosθ-3)2+sin2θ

=

cos2θ+(sinθ-3)2

，
化简得：sinθ=cosθ． …（5分）
∵

π

2

＜θ＜

3π

2

，∴θ=

π

2

． …（7分）
（Ⅱ）当0≤x≤

π

2

时，

5π

4

≤2x+θ≤

9π

4

，
∴-1≤sin(2x+θ)≤

2

2

，…（10分）
∴f（x）_max=

2

，f（x）_min=-2．…（12分）

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，三角函数的恒等变换及化简求值，求向量的模，属于基础题．