Question

12分）某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD=BD=14，BC=10,AC=16,∠C=∠D．

(I)求AB的长度；
(Ⅱ)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）A、B两点的距离为14.（Ⅱ）

解析试题分析：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得cosC 的值，在△ABD中，由余弦定理得cosD 的值，由∠C=∠D得 cosC=cosD，求得AB=7，从而得出结论．
（Ⅱ）小李的设计符合要求，因为由条件可得 S_△ABD＞S_△ABC，再由AD=BD=AB=7，得△ABD是等边三角形．由此求得S_△ABC的值，再乘以5000，即得所求．
解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得
  ①
在中，由余弦定理及整理得
    ②………4分
由①②得：
整理可得 ，……………6分
又为三角形的内角，所以,
又,,所以是等边三角形，
故，即A、B两点的距离为14.……………8分
（Ⅱ）小李的设计符合要求.理由如下：


因为…………12分
所以
考点：本试题主要考查了余弦定理的应用，考查三角形面积的计算，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题
点评：解决该试题的关键是能灵活运用余弦定理得到cosD的值。