Question

3．已知数列{a_n}，{b_n}中，a₁=a，{b_n}是公比为$\frac{2}{3}$的等比数列．记b_n=$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-1}$（n∈N^*）若不等式a_n＞a_n+1对一切n∈N^*恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，2）
• C． （$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 通过化简a_n+1-a_n=$\frac{{b}_{n+1}-2}{{b}_{n+1}-1}$-$\frac{{b}_{n}-2}{{b}_{n}-1}$=$\frac{-\frac{1}{3}{b}_{n}}{（1-\frac{2}{3}{b}_{n}）（1-{b}_{n}）}$＜0，解得b_n＞$\frac{3}{2}$或0＜b_n＜1，分别对两种情况讨论．

解答 解：∵b_n=$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-1}$（n∈N^*），
∴a_n=$\frac{{b}_{n}-2}{{b}_{n}-1}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{{b}_{n+1}-2}{{b}_{n+1}-1}$-$\frac{{b}_{n}-2}{{b}_{n}-1}$
=$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n+1}-1}$
=$\frac{{b}_{n+1}-{b}_{n}}{（1-{b}_{n+1}）（1-{b}_{n}）}$
=$\frac{-\frac{1}{3}{b}_{n}}{（1-\frac{2}{3}{b}_{n}）（1-{b}_{n}）}$
＜0，
解得b_n＞$\frac{3}{2}$或0＜b_n＜1，
若b_n＞$\frac{3}{2}$，则b₁•$（\frac{2}{3}）^{n-1}$＞$\frac{3}{2}$不可能对一切正整数n成立；
若0＜b_n＜1，则0＜b₁•$（\frac{2}{3}）^{n-1}$＜1对一切正整数成立，
只要0＜b₁＜1即可，
即0＜$\frac{{a}_{1}-2}{{a}_{1}-1}$=$\frac{a-2}{a-1}$＜1，
解得：a＞2，
故选：D．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．