Question

11．已知$f（n）=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$，用数学归纳法证明f（2ⁿ）＞$\frac{n}{2}$时，f（2^k+1）-f（2^k）等于$\frac{1}{{{2^k}+1}}+\frac{2}{{{2^k}+2}}+…+\frac{1}{{{2^{k+1}}}}$．

Answer 1

分析 首先由题目假设n=k时，代入得到f（2^k）=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$，当n=k+1时，f（2^k+1）=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$，由已知化简即可得到结果．

解答 解：因为假设n=k时，f（2^k）=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$，
当n=k+1时，f（2^k+1）=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$，
所以f（2^k+1）-f（2^k）=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$）=$\frac{1}{{{2^k}+1}}+\frac{2}{{{2^k}+2}}+…+\frac{1}{{{2^{k+1}}}}$．
故答案是：$\frac{1}{{{2^k}+1}}+\frac{2}{{{2^k}+2}}+…+\frac{1}{{{2^{k+1}}}}$．

点评 此题主要考查数学归纳法的概念问题，涵盖知识点少，属于基础性题目．需要同学们对概念理解记忆．