题目内容
定义在R上的偶函数f(x),满足以f(x+2)=-f(x)且在[0,2]上是减函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-2,6]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= .
【答案】分析:通过函数为偶函数及f(x+2)=-f(x)推断出函数为周期函数.根据对称性画出函数的示意图,根据函数图象即可得出答案.
解答:解:∵f(x+2)=-f(x)
∴f(x)=-f(x-2)
∴f(x-2)=f(x+2)
即 f(x)=f(x+4)
∴f(x)是一个周期函数,周期为4
又函数是偶函数,所以f(x)关于y轴对称.
由f(x)在[0,2]上是减函数,可做函数图象示意图如图
设x1<x2<x3<x4
∵f(x)关于y轴对称,结合周期性知,函数关于x=4对称
∴x1+x2=0且x3+x4=8
∴x1+x2+x3+x4=8
故答案为:8.
点评:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.
解答:解:∵f(x+2)=-f(x)
∴f(x)=-f(x-2)
∴f(x-2)=f(x+2)
即 f(x)=f(x+4)
∴f(x)是一个周期函数,周期为4
又函数是偶函数,所以f(x)关于y轴对称.
由f(x)在[0,2]上是减函数,可做函数图象示意图如图
设x1<x2<x3<x4
∵f(x)关于y轴对称,结合周期性知,函数关于x=4对称
∴x1+x2=0且x3+x4=8
∴x1+x2+x3+x4=8
故答案为:8.
点评:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.
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