Question

求下列函数的值域：
（1）y=3x²-x+2；    （2）；   （3）；
（4）；  （5）；   （6）y=|x-1|+|x+4|；
（7）；  （8）； （9）
（10）；    （11）；    （12）y=-
（13）；（14）；（15）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二次函数的性质，结合函数图象可求
（2）要求原函数的值域，转化为求二次函数-x²-6x-5的值域问题的求解，基本方法是配方
（（3）把函数化简==，结合反比例函数的性质可求
（4）利用换元法，然后结合二次函数的性质可求函数的值域．
（5）利用换元，令x=cosα，然后由辅助角公式，结合正弦函数的性质可求
（6）利用分段函数进行讨论，把函数化简为y=|x-1|+|x+4|=，从而可求
（7）利用判别式法进行求解
（8）由y=，分离系数后利用基本不等式求解函数的值域
（9）由于=可以看着在单位圆上任取一点与定点A（2，1）的连线的斜率，根据几何意义可求函数的值域
（10）利用分离系数法，结合反比例函数的值域进行求解
（11）利用换元，结合二次函数的配方法进行求解
（12）分x＞0，x=0，x＜0三种情况，分子分母同时x，然后结合二次函数的配方法进行求解
（13）利用二次函数的配方法进行求解函数的值域
（14）利用函数的单调性进行求解函数的值域
（15）利用分离系数法，然后由二次函数的值域的求解的配方法进行求解
解答：解（1）y=3x²-x+2
由二次函数的性质可知，当x=时，函数有最小值
故函数的值域为[，+∞）
（2）=
∵
∴0≤y≤2
故函数的值域[0，2]
（3）==≠3
故函数的值域（-∞，3）∪（3，+∞）
（4）令则t≥0且x=1-t²
=1-t²+4t=-（t-2）²+5在[0，2]上单调递增，在[2，+∞）单调递减
当t=2时，函数有最大值5
∴函数的值域为（-∞，5]
（5）令x=cosα，则y==cosα+sinα=
∴
（6）y=|x-1|+|x+4|=
∴y≥5
故函数的值域[5，+∞）
（7）∵
∴（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0
①当y=2时，x=0满足条件
②当y≠2时，△=（y+1）²-4（y-2）²≥0即y²-6y+5≤0
解可得1≤y≤5且y≠2
综上可得，1≤y≤5
故函数的值域为{y|1≤y≤5}
 （8）∵∴
∴=
∴y==
故函数的值域为[）
（9）∵=可以看着在单位圆上任取一点与定点A（2，1）的连线的斜率
当直线与圆相切时，由圆心到直线的距离为半径可得斜率k=0或k=
∴
故函数的值域为

（10）∵==
∴
∴且y≠1
∴函数的值域为{y|y≠1且}
（11）∵
令，则x=1-t²且t≥0
∴=2（1-t²）+4t=-2t²+4t+2=-2（t-1）²+4
根据二次函数的 性质可知，当t=1时，函数有最大值4
函数的值域为（-∞，4]
（12）y=-
①当x=0时，y=0
②当x＞0，==
∵=＞1
∴y＞-1
③当x＜0时，y=-=
∵=
∴
综上可得，函数的值域为R
（13）∵的定义域[-1，3]
令f（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
则0≤f（x）≤4
∴
∴2≤f（x）≤4即函数的值域[2，4]
（14）∵的定义域为（-∞，]，且在（-∞，]上单调递增
∴当x=时，函数有最大值
故函数的值域（]
（15）∵
∴（y-2）x²-（y-2）x+y-5=0
∴△=（y-2）²-4（y-2）（y-5）≥0
即（y-2）（3y-18）≤0
∴2≤y≤6
故函数的值域（2，6]
点评：本题主要考查了函数值域求解的一些常用方法的应用，要注意配方、换元、函数的单调性、判别式法、及利用几何意义等方法的应用