题目内容
【题目】已知函数f（x）=ax2ex+blnx，且在P（1，f（1））处的切线方程为（3e﹣1）x﹣y+1﹣2e=0，g（x）=（ 
﹣1）ln（x﹣2）+ 
+1．
（1）求a，b的值；
（2）证明：f（x）的最小值与g（x）的最大值相等．
【答案】
（1）解：当x=1时，y=e，即f（1）=ae=e，解得a=1，
∵f′（x）=ex（x2+2x）+ 
，
∴f′（1）=e（1+2）+b=3e﹣1，解得b=﹣1，
（2）证明：由（1）得f′（x）=ex（x2+2x）﹣ 
，
令h（x）=ex（x2+2x）﹣ ，
∴h′（x）=ex（x2+4x+2）+ 
，
∴h（x）为增函数，
∵f（ 
）= 
﹣4＜ 
﹣4＜2﹣4＜0，f（1）=3e﹣1＞0，
∴存在唯一的x1∈（ ，1），使得f′（x）=0，
即 
（x12+2x1）﹣ 
=0，
亦即2lnx1+ln（x1+2）+x1=0，
且f（x）在（0，x1）为减函数，在（x1，+∞）为增函数，
∴f（x）min=f（x1）= x12+lnx1= 
﹣lnx1= 
﹣lnx1，
∵g′（x）=﹣ 
ln（x﹣2）+（ 
﹣1） 
+ 
= 
，
令φ（x）=﹣2ln（x﹣2）﹣x+2﹣lnx，则φ（x）在（2，+∞）上为减函数，
∵φ（3）=﹣3+2﹣ln3=﹣1﹣ln3＜0，φ（2+ 
）=4﹣（2+ ）+2﹣ln（2+ ）＞4﹣（2+1）+2﹣1＞0，
∴存在唯一的x2∈（2+ ，3），使得φ（x2）=0，
即φ（x2）=﹣2ln（x2﹣2）﹣x2+2﹣lnx2=0
亦即lnx2+2ln（x2+2）+x2﹣2=0，
且g（x）在（2，x2）为增函数，在（x2，+∞）为减函数，
∴g（x）max=g（x2）=（ 
﹣1）ln（x2﹣2）+ 
+1
=（ ﹣1）ln（x2﹣2）+ 
+1，
= 
[（2﹣x2）ln（x2﹣2）﹣2ln（x2﹣2）﹣x2+1]+1
= [﹣x2ln（x2﹣2）﹣x2+1]+1
= ﹣ln（x2﹣2），
∵2lnx1+ln（x1+2）+x1=2ln[（x1+2）﹣2]+ln（x1+2）+（x1+2）﹣2=0
∴x1+2=x2，
∴g（x）max= ﹣ln（x2﹣2）= ﹣lnx1=f（x）min；
问题得以证明．
【解析】（1）求导，由题意可得f'（1）=1，代入即可求得a，b的值；（2）分别利用导数求出函数f（x），g（x）的最值，再比较判断，即可证明．
