题目内容
【题目】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c﹣a=2bcosA.
(1)求角B的大小;
(2)若b=2 ,求a+c的最大值.
【答案】
(1)解:∵2c﹣a=2bcosA,
∴根据正弦定理,得2sinC﹣sinA=2sinBcosA,
∵A+B=π﹣C,可得sinC=sin(A+B)=sinBcosA+cosBsinA,
∴代入上式,得2sinBcosA=2sinBcosA+2cosBsinA﹣sinA,
化简得(2cosB﹣1)sinA=0
∵A是三角形的内角可得sinA>0,∴2cosB﹣1=0,解得cosB= ,
∵B∈(0,π),∴B=
(2)解:由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB,得12=a2+c2﹣ac.
∴(a+c)2﹣3ac=12,∴12≥(a+c)2﹣ ac,(当且仅当a=c=2 时)
∴a+c≤4 ,
∴a+c的最大值为4
【解析】(1)根据正弦定理与两角和的正弦公式,化简等式2bcosA=2c﹣a,可得(2cosB﹣1)sinA=0,结合sinA>0得到cosB,从而解出B;(2)由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB的式子,解出12=a2+c2﹣ac.再利用基本不等式得出结论.
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