Question

已知a_n=log_（n+1）（n+2），把能够使乘积a₁a₂a₃…a_n是整数的数字n称为完美数，则在区间（1，2010）内所有的完美数的和为（　　）

• A、1024
• B、2003
• C、2026
• D、2048

Answer 1

分析：a₁a₂a₃…a_n=log₂3×log₃4×…×log_（n+1）（n+2）=log₂（n+2），当n+2=2^m（m∈N₊），即n=2^m-2，m∈N₊时，n称为完美数，在区间（1，2010）中找出所有的完美数之后用数列的求和公式进行计算．

解答：解：∵a₁a₂a₃…a_n=log₂3×log₃4×…×log_（n+1）（n+2）=log₂（n+2），
当n+2=2^m（m∈N₊），即n=2^m-2，m∈N₊时，n称为完美数，
在区间（1，2010）内的完美数为2²-2，2³-2，2⁴-2，…，2ⁿ-2，当2ⁿ-2≤2010时，n≤10．
∴在区间（1，2010）内所有的完美数的和S=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）
=（2²+2³+2⁴+…2¹⁰）-18
=

22×(1-29)

1-2

-18=2026，
故选C．

点评：迭代相消的题目规律性很强，我们要注意把握这种规律性．